Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn – Học học nữa học mãi

Giải SBT Toán 12 Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài 1.41 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Bác Hưng có một hàng rào thép dài 240 m và muốn rào cánh đồng thành một thửa ruộng hình chữ nhật giáp một con sông thẳng. Bác không cần rào phía cạnh con sông. Hỏi thửa ruộng có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài hai cạnh của thửa ruộng hình chữ nhật. Giả sự cạnh giáp sông của thửa ruộng có độ dài là y (m).

Khi đó, theo đề bài ta có: 2x + y = 240 hay y = 240 – 2x.

Do đó: 0 0.

Diện tích cửa thửa ruộng là

S = xy = x(240 – 2x) = 240x – 2x², 0

Ta có: S’ = 240 – 4x

           S’ = 0 ⇔ x = 60 (vì 0

Khi đó y = 240 – 2.60 = 120.

Lập bảng biến thiên:

Vậy thửa ruộng có diện tích lớn nhất là:

S = 60. 120 = 7 200 (m²) (khi cạnh giáp sông và cạnh đối diện có độ dài 120 m, hai cạnh kia có độ dài 60 m).

Chú ý: Nếu phải rào cả bốn cạnh cửa thửa ruộng thì dễ thấy thửa ruộng có diện tích lớn nhất khi nó là hình vuông, tức là bốn cạnh đều dài 60 m, và khi đó diện tích lớn nhất là 3 600 m².

Bài 1.42 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Doanh số bán hệ thống âm thanh nổi mới trong một khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo đường cong logistic R = R(x) = $\frac{5000}{1+5e^{-x}}$ , x ≥ 0, trong đó thời gian x được tính bằng năm. Hỏi tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm nào?

Lời giải:

Ta có: R'(x) = $\frac{5000}{1+5e^{-x}}$ , x ≥ 0.

           R”(x) = $\frac{-25000e^{-x}{\left(1+5e^{-x}\right)}^2+25000e^{-x}.2\left(1+5e^{-x}\right).5e^{-x}}{{\left(1+5e^{-x}\right)}^4}$

           R”(x) = 0 ⇔ x = ln5 ≈ 1,61.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Bài 1.43 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là 2 000 cm³. Các kích thước của chiếc hộp là bao nhiêu nếu muốn lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp là nhỏ nhất?

Lời giải:

Gọi x (m) là cạnh đáy của chiếc hộp.

Khi đó, ta có chiều cao của chiếc hộp là $\frac{2000}{x^2}$  (cm).

Suy ra, tổng diện tích bề mặt của chiếc hộp là:

S = 2x² + 4x.$\frac{2000}{x^2}$  = 2x² + $\frac{8000}{x}$ , x > 0.

Ta có: S’ = 4x –$\frac{8000}{x^2}$  = $\frac{4x^3-8000}{x^2}$

           S’ = 0 ⇔ x = 10$\sqrt[3]{2}$ .

Ta có bảng biến thiên:

Dễ thấy lượng vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất khi cạnh đáy của hộp là 10$\sqrt[3]{2}$  (cm) và chiều cao của hộp là $\frac{20}{\sqrt[3]{4}}$  cm.

Bài 1.44 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng 3 km, một thị trấn ở điểm A cách điểm P 12 km (xem hình vẽ). Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc 2,5 km/h và đi bộ với vận tốc 4 km/h thì thuyền nên neo đậu ở vị trí nào để đoạn PA để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất?

Lời giải:

Gọi khoảng cách từ thị trấn đến chỗ neo thuyền leo x (km), khi đó 0 ≤ x ≤ 12.

Từ đề bài, ta có khoảng cách từ hòn đảo đến nơi neo thuyền là: (12 – x)² + 9 (km).

Thời gian để người đó từ hòn đảo đến thị trấn là: T = $\frac{{\left(12-x\right)}^2+9}{2,5}+\frac{x}{4}$  (giờ).

Ta có: T’ = $-\frac{2\left(12-x\right)}{2,5}+\frac{1}{4}$

           T’ = 0 ⇔ x = $\frac{187}{16}$  = 11,6875.

Mặt khác, ta có T(0) = 61,2; T(11,6875) ≈ 6,56; T(12) = 6,6.

Vậy người đó cần neo thuyền tại vị trí cách thị trấn 11,6875 km để thời gian đi lại là gần nhất.

Bài 1.45 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích về mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.

Lời giải:

Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là r. Suy ra, chiều cao của thùng hình trụ là $\frac{V}{\pi r^2}$ .

Diện tích bề mặt của thùng hình trụ là S = 2πr² + $\frac{2\pi rV}{\pi r^2}$  = 2πr² + $\frac{2V}{r}$ , r > 0.

Ta có: S’ = 2πr² –$\frac{2V}{r^2}$  = $\frac{4\pi r^3-2V}{r^2}$

           S’ = 0 ⇔ r = $\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$ .

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên: S đạt giá trị nhỏ nhất khi r = $\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$ , khi đó chiều cao của hình trụ là 2.$\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$  = 2r.

Đây là điều cần chứng minh.

Bài 1.46 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Ở 0℃, sự mất nhiệt H (tính bằng Lcal/m²h, ở đây Kcal là kilocalories và 1 Kcal = 1 000 calo) từ cơ thể của một người có thể được mô hình hóa bằng công thức

H = $33\left(10\sqrt{v}-v+10,45\right)$

trong đó v là tốc độ gió (tính bằng m/s) (Theo sách Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009).

a) Xét tính đơn điệu của hàm số H và giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả nhận được.

b) Tìm tốc độ thay đổi khi H khi v = 2 m/s. giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả này.

Lời giải:

a) Khảo sát đơn điệu của hàm số H

Ta có: H = $33\left(10\sqrt{v}-v+10,45\right)$

           H'(v) = 33$\left(\frac{5}{\sqrt{v}}-1\right)$ , v > 0

           H'(v) = 0 ⇔ v = 25.

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Ta có thể thấy mức nhiệt mất từ cơ thể tăng khi tốc độ gió tăng. Tuy nhiên, nó đạt tối đa tại mức gió là 25 m/s, sau đó giảm dần khi tốc độ gió tiếp tục tăng.

b) Ta có: H'(2) = 33$\left(\frac{5}{\sqrt{2}}-1\right)$  ≈ 83,673.

Điều này có nghĩa là mức nhiệt của cơ thể mất tiếp khi vận tốc gió tăng từ 2 m/s lên 3 m/s là khoảng 83,673 (Kcal/m²h).

Bài 1.47 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Doanh thu R (USD) từ việc cho thuê x căn hộ có thể được mô hình hóa bằng hàm số

R = 2x(900 + 32x – x²).

a) Tìm hàm doanh thu biên.

b) Tìm doanh thu biên khi x = 14 và giải thích ý nghĩa thực tiễn của nó.

c) Tìm lượng doanh thu tăng thêm khi số căn hộ cho thuê tăng từ 14 lên 15.

Lời giải:

a) Hàm doanh thu biên là R’ = 1800 + 128x – 6x².

b) Ta có doanh thu biên khi x = 14 là R'(14) = 2 416.

Điều này nghĩa là, doanh thu tăng lên cho thuê thêm một căn hộ nữa (tức là cho thuê căn hộ thứ 15) là khoảng 2 416 USD.

c) Ta có: R(14) = 32 256; R(15) = 34 650 suy ra R(15) – R(14) = 2 394.

Vậy số khi căn hộ thuê tăng từ 14 lên 15 thì doanh thu tăng thêm 2 394 USD, giá trị này xấp xỉ với mức đã ước tính ở câu b.

Bài 1.48 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Một công ty ước tính rằng chi phí C (USD) để sản xuất x đơn vị sản phẩm có thể được mô hình hóa bằng công thức

C = 800 + 0,04x + 0,0002x².

Tìm mức sản xuất sao cho chi phí trung bình $\overline{C}\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.

Lời giải:

Ta có: $\overline{C}\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{800}{x}+0,04+0,0002x$

Suy ra, $\overline{C^{‘}}\left(x\right)=-\frac{800}{x^2}+0,0002=\frac{0,0002x^2-800}{x^2}$

            $\overline{C^{‘}}\left(x\right)$  = 0 ⇔ x = 2 000 (do x > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên suy ta với mức sản xuất là 2 000 thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.

Bài 1.49 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1:

a) Nếu C(x) (USD) là chi phí sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị là $\overline{C}\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ . Chứng minh rằng nếu chi phí trung bình là nhỏ nhất thì chi phí biên bằng chi phí trung bình.

b) Nếu C(x) = 16 000 + 200x + 4x^3/2, hãy tìm:

(i) Chi phí, chi phí trung bình và chi phí khi sản xuất 100 đơn vị hàng hóa;

(ii) Mức sản xuất mà khi đó sẽ giảm thiểu chi phí trung bình;

(iii) Chi phí trung bình nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Chi phí biên là: $\overline{C^{‘}}\left(x\right)={\left(\frac{C\left(x\right)}{x}\right)}^{‘}=\frac{C^{‘}\left(x\right).x-C\left(x\right)}{x^2}=0$

Suy ra $C^{‘}\left(x\right).x-C\left(x\right)=0$  hay $C^{‘}\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ , nói cách khác là chi phí biên bằng chi phí trung bình.

b) (i) Ta có hàm chi phí trung bình là $\overline{C}\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$  = $\frac{16000}{x}+200+4x^{\frac{1}{2}}$ ; hàm chi phí biên là C'(x) = 200 + 6$x^{\frac{1}{2}}$ .

Suy ra C(100) = 40 000; ; C'(100) = 260.

Vậy chi phí, chi phí trung bình và chi phí biên ở mức sản xuất 100 đơn vị hàng hóa lần lượt là  40 000 USD, 400 USD, 260 USD.

(ii) Ta có: $\overline{C^{‘}}\left(x\right)=-\frac{16000}{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}$

 $\overline{C^{‘}}\left(x\right)$= 0  ⇔ x = 400 (do x > 0).

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy mức sản xuất là 400 đơn vị hàng hóa sẽ giảm thiểu chi phí trung bình.

(iii) Từ bảng biến thiên ở phần b, chi phí trung bình nhỏ nhất là 320 USD.

Bài 1.50 trang 33 SBT Toán 12 Tập 1:

a) Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận P(x) là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên.

b) Cho C(x) = 16 000 + 500x – 1,6x² + 0,004x³ là hàm chi phí và p(x) = 1 700 – 7x là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất sẽ tối đa hóa lợi nhuận.

Lời giải:

a) Ta có lợi nhuận P(x) = R(x) – C(x) trong đó R(x) là doanh thu và C(x) là chi phí.

Khi lợi nhuận đạt cực đại tại x₀ thì P'(x₀) = R'(x₀) – C'(x₀) = 0 hay R'(x₀) = C'(x₀), nói cách khác là doanh thu biên bằng chi phí biên.

b) Ta có hàm lợi nhuận:

P(x) = x.p(x) – C(x) = 1 700x – 7x² – 16 000 – 500x + 1,6x² – 0,004x³

        = −16 000 + 1200x – 5,4x² – 0,004x².

Suy ra, P'(x) = 1200 – 10,8x – 0,012x²

            P'(x) = 0 ⇔x = 100 (do x ≥ 0).

Bảng biến thiên như sau:

Vậy mức sản xuất tối đa hóa lợi nhuận là 100 đơn vị hàng hóa.

Lý thuyết Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng

– Nếu s = s(t) là hàm vị trí của một vật chuyển đọng trên một đường thẳng thì v = s’(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật. Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a(t) = v’(t) = s’’(t) – Nếu C = C(t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm t, thì C’(t) là tốc độ phản ứng tức thời của chất đó tại thời điểm t – Nếu P = P(t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t, thì P’(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t – Nếu C = C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời C’(x) của chi phí đó đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên – Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C’(x) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứ x + 1

Ví dụ: Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là $h(t)=2+24,5t-4,9t^2$

a)     Tìm vận tốc của vật sau 2s

b)    Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?

c)     Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?

Lời giải

a)     Ta có: v = h’(t) = 24,5 – 9,8t (m/s)

Do đó v(2) = 24,5 – 9,8.2 = 4,9 (m/s)

b)    Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = -4,9 t=−b2a=2,5s. Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m)

c)     Vật chạm đất khi h = 0, tức là $2+24,5t-4,9t^2=0$ hay $t\approx 5,08s$

Vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08) = 24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s)

Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyện động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn

2. Một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản

Quy trình giải một bài toán tối ưu hóa

Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng trong bài toán Bước 2. Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số Q = Q(x) Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q = Q(x) bằng các phương pháp đã biết và kết luận

Ví dụ: Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất

Đổi 1 lít = 1000 cm³

Gọi r (cm) là bán kính đáy của hình trụ, h (cm) là chiều cao của hình trụ

Diện tích toàn phần của hình trụ là $S=2\pi r^2+2\pi rh$

Do thể tích của hình trụ là 1000 cm³ nên ta có: $V=\pi r^{2}h=1000$ hay $h=\frac{1000}{\pi r^2}$

Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là $S=2\pi r^2+\frac{2000}{r},r>0$

Ta cần tìm r sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:

$S^{\prime }=4\pi r-\frac{2000}{r^2}=\frac{4\pi r^3-2000}{r^2};S^{\prime }=0\iff \pi r^3=500\iff r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}$

BBT

 

Khi đó: $h=\frac{1000}{\pi r^2}=\frac{100}{\sqrt[3]{250\pi }}$

Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy $r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}\approx 5,42(cm)$ và chiều cao $h=\frac{100}{\sqrt[3]{250\pi }}\approx 10,84(cm)$

Sơ đồ tư duy Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài tập cuối chương 1

Bài 6: Vectơ trong không gian

Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ