Phương trình đường thẳng trong không gian – Học học nữa học mãi

Giải SBT Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 1 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\{\begin{cases} x = 7 + 5 t \\ y = 3 + 11 t \\ z = 9 - 6 t \end{cases}$ . Tìm một điểm trên d và một vectơ chỉ phương của d.

Lời giải:

Do d có phương trình tham số $\{\begin{cases} x = 7 + 5 t \\ y = 3 + 11 t \\ z = 9 - 6 t \end{cases}$ nên d đi qua điểm M(7; 3; 9) và có một vectơ chỉ phương là = (5; 11; −6).

Bài 2 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(1; −5; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (2; 0; 7)$

b) d đi qua hai điểm M(3; −1; −1); N(5; 1; 2).

Lời giải:

a) Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 5 \\ z = 7 t \end{cases}$

b) Ta có: $\vec{M N} = (2; 2; 3)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\{\begin{cases} x = 5 + 2 t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 2 + 3 t \end{cases}$

Bài 3 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(9; 0; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (5; - 11; 4)$

b) d đi qua hai điểm A(6; 0; −1), B(8; 3; 2);

c) d có phương trình tham số $\{\begin{cases} x = 2 t \\ y = - 1 + 7 t \\ z = 3 - 6 t \end{cases}$

Lời giải:

a) Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{x - 9}{5} = \frac{x}{- 11} = \frac{z}{4}$

b) Ta có: $\vec{A B} = (2; 3; 3)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\frac{x - 6}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{3}$

c) Ta có:

$\{\begin{cases} x = 2 t \\ y = - 1 + 7 t \\ z = 3 - 6 t \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} t = \frac{x}{2} \\ t = \frac{y + 1}{7} \\ t = \frac{z - 3}{- 6} \end{cases}$

nên phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{x}{2} = \frac{y + 1}{7} = \frac{z - 3}{- 6}$

Bài 4 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Xét phương trình tương đối giữa hai đường thẳng d và d’ trong mỗi trường hợp sau:

a) d: $\{\begin{cases} x = t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 1 - t \end{cases}$ và d’: $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t^{‘} \\ y = 7 + 6 t^{‘} \\ z = - 1 - 2 t^{‘} \end{cases}$

b) d: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{1}$ và d’: $\frac{x}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z}{2}$

c) d: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 2 - t \end{cases}$ và d’: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{1}$

d) d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1}$ và d’: $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 + t \\ z = 7 \end{cases}$

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1; 1) và nhận $\vec{a}$ = (1; 3; −1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d’ đi qua điểm M'(2; 7; −1) và nhận $\vec{a^{‘}}$ = (2; 6; −2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\{\begin{cases} \vec{M M^{‘}} = (2; 6; - 2) \\ \vec{a^{‘}} = 2 \vec{a} = \vec{M M^{‘}} \end{cases}$ , suy ra $\vec{a}, \vec{a^{‘}}, \vec{M M^{‘}}$ cùng phương.

Do đó d ≡ d’.

b) Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 0; 0) và nhận $\vec{a}$ = (2; 3; 1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d’ đi qua điểm M'(0; 0; 0) và nhận $\vec{a^{‘}}$ = (4; 6; 2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\{\begin{cases} \vec{M M^{‘}} = (- 2; 0; 0) \\ \vec{a^{‘}} = 2 \vec{a} \\ [\vec{a}, \vec{M M^{‘}}] = (|\begin{matrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 3 \\ 2 & 0 \end{matrix}|) = (0; 2; - 6) \neq \vec{0.} \end{cases}$

Do đó d ∥ d’.

c) Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 2) và nhận $\vec{a}$ = (1; 1; −1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d’ đi qua điểm M'(2; 2; 1) và nhận $\vec{a^{‘}}$ = (2; 3; 1) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\{\begin{cases} \vec{M M^{‘}} = (1; 0; 5) \\ [\vec{a}, \vec{a^{‘}}] = (- 1; 0; 2) \neq \vec{0} \\ [\vec{a}, \vec{a^{‘}}] \vec{M M^{‘}} = 0. \end{cases}$

Do đó hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.

Bài 5 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Tính góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) α là góc giữa hai vectơ $\vec{a} = (1; 1; - 1)$ và $\vec{b} = (5; 2; 7)$

b) α là góc giữa hai đường thẳng d: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - \sqrt{3} t \\ z = 5 \end{cases}$ và d’: $\{\begin{cases} x = 1 - \sqrt{3} t^{‘} \\ y = 7 + t^{‘} \\ z = 9 \end{cases}$

c) α là góc giữa hai mặt phẳng (P): 4x + 2y – z + 9 = 0 và (Q): x + y + 6z – 11 =0;

d) α là góc giữa đường thẳng d: $\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng (P): x + y − z + 99 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: cosα = $\frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{1.5 + 1.2 - 1.7}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{5^{2} + 2^{2} + 7^{2}}} = 0$ ⇒ α = 90°.

b) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d’ lần lượt là $\vec{a} = (1; - \sqrt{3}; 0)$ và $\vec{a^{‘}} = (- \sqrt{3}; 1; 0)$

Khi đó, cosα = $\frac{|\vec{a} . \vec{a^{‘}}|}{|\vec{a}| . |\vec{a^{‘}}|} = \frac{|1. (- \sqrt{3}) + (- \sqrt{3}) .2 + 0.0|}{\sqrt{1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2} + 0^{2}} . \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇒ α = 30°.

c) Ta có vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là $\vec{n} = (4; 2; - 1), \vec{n^{‘}} = (1; 1; 6)$

Khi đó cosα = $\frac{\vec{n} . \vec{n^{‘}}}{|\vec{n}| . |\vec{n^{‘}}|} = \frac{|4.1 + 2.1 - 1.6|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 6^{2}}} = 0$ ⇒ α = 90°.

d) Ta có vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (P) lần lượt là $\vec{a} = (2; - 1; 1), \vec{n} = (1; 1; - 1)$

Khi đó sinα = $\frac{|\vec{n} . \vec{a}|}{|\vec{n}| . |\vec{a}|} = \frac{|2.1 - 1.1 + 1. (- 1)|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 0$ ⇒ α = 0°.

Bài 6 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S có chiều cao bằng 6 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

a) Tính góc α giữa hai đường thẳng SD và BC;

b) Tính góc β giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S

Gọi O là trung điểm của AB, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Chọn hệ trục Oxyz như hình bên.

Ta có: S(0; 0; 6), A(2; 0; 0), B(−2; 0; 0), C(−2; 4; 0), D(2; 4; 0).

a) Ta có: $\vec{S D} = (2; 4; - 6), \vec{B C} = (0; 4; 0)$

Suy ra cosα = $\frac{|\vec{S D} . \vec{B C}|}{|\vec{S D}| . |\vec{B C}|} = \frac{|2.0 + 4.4 - 6.0|}{\sqrt{2^{2} + 4^{2} + {(- 6)}^{2}} . \sqrt{0^{2} + 4^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{14}}{7}$ ⇒ α ≈ 57,7°.

b) Mặt phẳng (SAD) có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{S D} = (2; 4; - 6)$ , $\vec{S A} = (2; 0; - 6)$

Ta có: $[\vec{S D}, \vec{S A}] = (|\begin{matrix} 4 & - 6 \\ 0 & - 6 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 6 & 2 \\ - 6 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 4 \\ 2 & 0 \end{matrix}|)$ = (−24; 0; −8) = −8(3; 0; 1).

Vậy $\vec{n} = (3; 0; 1)$ là vectơ pháp tuyến của (SAD).

Mặt phẳng (SCD) có cặp vectơ chỉ phương là: $\vec{D C} = (- 4; 0; 0)$ , $\vec{S D} = (2; 4; - 6)$

Ta có: $[\vec{S D}, \vec{D C}] = (|\begin{matrix} 4 & - 6 \\ 0 & 0 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 6 & 2 \\ 0 & - 4 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 4 & 0 \end{matrix}|)$ = (0; 24; 16) = 8(0; 3; 2).

Vậy $\vec{n^{‘}} = (0; 3; 2)$

Suy ra cosβ = $\frac{\vec{n} . \vec{n^{‘}}}{|\vec{n}| . |\vec{n^{‘}}|} = \frac{|3.0 + 0.3 + 1.2|}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + 1^{2}} . \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{130}}$ ⇒ β ≈ 79,9°.

Bài 7 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Người ta muốn dựng một cột ăng – ten trên một sườn đồi. Ăng – ten được dựng thẳng đứng trong không gian Oxyz với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi O là gốc cột, A là điểm buộc dây cáp vào cột ăng – ten và M, N là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi (Hình 6). Cho biết tọa độ các điểm nói trên lần lượt là O(0; 0; 0), A(0; 0; 6), M(3; −4; 3), N(−5; −2; 2).

Người ta muốn dựng một cột ăng – ten trên một sườn đồi. Ăng – ten được dựng thẳng đứng trong không gian Oxyz

a) Tính độ dài các đoạn dây cáp MA và NA.

b) Tính góc tạo bởi các sợi dây cáp MA, NA với mặt phẳng sườn đồi.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{M A} = (- 3; 4; 3), \vec{N A} = (5; 2; 4)$ suy ra

MA = $\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2} + 3^{2}}$ = ≈ 5,8 (m),

NA = $\sqrt{5^{2} + 2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{45}$ ≈ 6,7 (m).

b) Mặt phẳng (OMN) có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{O M} = (3; - 4; 3), \vec{O N} = (- 5 - 2; 2)$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{O M}, \vec{O N}] = (|\begin{matrix} - 4 & 3 \\ - 2 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 3 & 3 \\ 2 & - 5 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{matrix}|)$

= (−2; −21; −26).

Gọi α, β lần lượt là góc tạo bởi MA, NA với mặt phẳng (AMN).

Ta có: sinα = $\frac{|\vec{M A} . \vec{n}|}{|\vec{M A}| . |\vec{n}|} = \frac{|- 3. (- 2) + 4. (- 21) + 3. (- 26)|}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2} + 3^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 21)}^{2} + {(- 26)}^{2}}}$

= $\frac{156}{\sqrt{38114}}$

⇒ α ≈ 53°;

Sinβ = $\frac{|\vec{N A} . \vec{n}|}{|\vec{N A}| . |\vec{n}|} = \frac{|5. (- 2) + 2. (- 21) + 4. (- 26)|}{\sqrt{5^{2} + 2^{2} + 4^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 21)}^{2} + {(- 26)}^{2}}}$

$= \frac{156}{\sqrt{50445}}$

⇒ β ≈ 44°.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Xác suất có điều kiện

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

PBN WEB EDU MMO TD

admin

Related Posts

Leave a Comment Hủy