Bài tập cuối chương 5 – Học học nữa học mãi

Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 5

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 61 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 10 = 0 và điểm M(1; 1; 1). Khoảng cách từ M đến (P) bằng.

A. 5

B. $\frac{15}{9}$

C. $\frac{\sqrt{15}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{15}}{9}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: d(M, (P)) $=\frac{\left|2.1+2.1+1+10\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=5$

Bài 2 trang 61 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 10 = 0 và (Q): x + 2y + 2z – 3 = 0. Khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng

A. $\frac{8}{3}.$

B. $\frac{7}{3}.$

C. 3

D. $\frac{4}{3}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Nhận thấy $\frac{1}{1}=\frac{2}{2}=\frac{2}{2}\ne \frac{-10}{-3}$ nên  (P) ∥ (Q).

Lấy A(0; 0; 5) thuộc (P).

Do đó, d((Q),(P)) = d(A, (Q)) = $\frac{\left|1.0+2.0+2.5-3\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{7}{3}$

Bài 3 trang 61 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P): x – 2y + z – 5 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc (P)?

A. M(1; 1; 6).

B. N(−5; 0; 0).

C. P(0; 0; −5).

D. Q(2; −1; 5).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Thay các tọa độ điểm ở các đáp án A, B, C, D.

Thay điểm M(1; 1; 6) vào (P) được: 1 – 2.1 + 6 – 5 = 0.

Vậy điểm M(1; 1; 6) thuộc (P).

Thay điểm N(−5; 0; 0) vào (P) được: −5 – 2.0 + 0 – 5 = −10 ≠ 0.

Do đó điểm N(−5; 0; 0) không thuộc (P).

Thay điểm P(0; 0; −5) vào (P) được: 0 – 2.0 + (−5) – 5 = −10 ≠ 0.

Do đó điểm P(0; 0; −5) không thuộc (P).

Thay điểm Q(2; −1; 5) vào (P) được: 2 – 2.(−1) + 5 – 5 = 4 ≠ 0.

Do đó điểm Q(2; −1; 5) không thuộc (P).

Chọn A.

Bài 4 trang 61 SBT Toán 12 Tập 2: Cho ba mặt phẳng (α): 3x + 3y + 6z + 13 = 0, (β): 2x + 2y – 2z + 9 = 0 và (γ): x – y – 21 = 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. (α) ⊥ (β).

B. (γ) ⊥ (β).

C. (α) ∥ (β).

D. (α) ⊥ (γ).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(3;3;6\right),\overrightarrow{n_{\beta }}=\left(2;2;-2\right),\overrightarrow{n_{\gamma }}=\left(1;-1;0\right)$ lần lượt là các vectơ chỉ phương của  (α), (β) và (γ).

Nhận thấy $\overrightarrow{n_{\alpha }}.\overrightarrow{n_{\beta }}=3.2+3.2+6.\left(-2\right)=0$ nên (α) ⊥ (β).

              $\overrightarrow{n_{\gamma }}.\overrightarrow{n_{\beta }}=1.2+\left(-1\right).2+0.\left(-2\right)=0$ nên (γ) ⊥ (β).

               $\overrightarrow{n_{\gamma }}.\overrightarrow{n_{\alpha }}=1.3+\left(-1\right).3+0.6=0$ nên (α) ⊥ (γ).

Do đó mệnh đề C sai.  

Bài 5 trang 61 SBT Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=6t\\ z=-2+2t\end{array}\right.$. Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng d?

A. $\frac{x+1}{4}=\frac{y}{6}=\frac{z-2}{2}.$

B. $\frac{x-5}{2}=\frac{y-6}{3}=\frac{z}{1}.$

C. $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-2}{-2}.$

D. $\frac{x-1}{4}=\frac{y}{6}=\frac{z+2}{2}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{x-1}{4}=\frac{y}{6}=\frac{z+2}{2}.$

Bài 6 trang 62 SBT Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng d: $\frac{x-1}{2}=\frac{3-y}{-1}=z+1$. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tham số của d?

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\\ z=-1.\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+t\\ z=-1+t.\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+t\\ z=-1+t.\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=2+t\\ z=-2+t.\end{array}\right.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có phương trình chính tắc của d là $\frac{x-1}{2}=\frac{3-y}{-1}=z+1$ = t

Do đó, phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+t\\ z=-1+t.\end{array}\right.$

Bài 7 trang 62 SBT Toán 12 Tập 2: Đường thẳng đi qua I(1; −1; −1) và nhận $\overrightarrow{u}=\left(-2;3;-5\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:

A. $\frac{x+1}{-2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{-5}.$

B. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+1}{-5}.$

C. $\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-5}{-1}.$

D. $\frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+5}{-1}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc đó là: $\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+1}{-5}.$

Bài 8 trang 62 SBT Toán 12 Tập 2: Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua A(2; 3; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y – z + 5 = 0?

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+3t\\ z=1-t.\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3t\\ z=1-t.\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1+3t\\ z=1-t.\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1+3t\\ z=1+t.\end{array}\right.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Do đó, $\overrightarrow{u_d}=\left(1;3;-1\right)$

Vậy phương trình đường thẳng d qua A và vuông với mặt phẳng (P) là $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3t\\ z=1-t.\end{array}\right.$

Bài 9 trang 62 SBT Toán 12 Tập 2: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?

A. x² + y² + z² + x – 2y + 4z – 3 = 0.

B. 2x² + 2y² + 2z² – x – y – z = 0.

C. x² + y² + z² – 2x + 4y – 4z + 10 = 0.

D. 2x² + 2y² + 2z² + 4x + 8y + 6z + 3 = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta thấy:

Đáp án A:

Phương trình x² + y² + z² + x – 2y + 4z – 3 = 0 có dạng

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = $-\frac{1}{2}$; b = 1; c = −2; d = −3.

Ta có: a² + b² + c² − d = $\frac{1}{4}$ + 1 + 4 – 3 > 0 do đó đây  là phương trình mặt cầu.

Đáp án B:

Phương trình 2x² + 2y² + 2z² – x – y – z = 0 hay x² + y² + x² $-\frac{1}{2}$x $-\frac{1}{2}$ y $-\frac{1}{2}$z = 0.

Ta có: a = $\frac{1}{4}$, b = $\frac{1}{4}$, c = $\frac{1}{4}$, d = 0 nên a² + b² + c² – d > 0. Do đó, đây là phương trình mặt cầu.

Đáp án C:

Phương trình x² + y² + z² – 2x + 4y – 4z + 10 = 0 có dạng

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 1, b = −2, c = 2 và d = 10.

Ta có: a² + b² + c² − d = 1 + 4 + 4 – 10

Đáp án D:

Ta có: 2x² + 2y² + 2z² + 4x + 8y + 6z + 3 = 0 hay x² + y² + z² + 2x + 4y + 3z + $\frac{3}{2}$= 0.

Ta có: a² + b² + c² – d > 0 nên đây là phương trình mặt cầu.

Vậy chọn C.

Bài 10 trang 63 SBT Toán 12 Tập 2: Cho x² + y² + z² + 2x – 4y + 4z + m = 0 là phương trình của một mặt cầu (m là tham số). Tất cả các giá trị của m là

A. m

B. m ≤ 9.

C. m > 9.

D. m ≥ 9.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình x² + y² + z² + 2x – 4y + 4z + m = 0 với a = −1, b = 2, c = −2

và d = m.

Để là phương trình mặt cầu thì a² + b² + c² – d > 0 hay (−1)² + 2² + (−2)² – m > 0.

Suy ra 9 – m > 0 hay m

Bài 11 trang 63 SBT Toán 12 Tập 2: Mặt cầu có phương trình nào dưới đây đi qua gốc tọa độ?

A. (S₁): x² + y² + z² + 2x – 4y – 2 = 0.

B. (S₂): x² + y² + z² – 4y + 6z – 2 = 0.

C. (S₃): x² + y² + z² + 2x + 6z = 0.

D. (S₄): x² + y² + z² + 2x – 4y + 6z – 2 = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta thấy:

(S₁): x² + y² + z² + 2x – 4y – 2 = 0 hay (x + 1)² + (y – 2)² + z² = 7.

Thay tọa độ O(0; 0; 0) ta được 1² + (−2)² + 0² = 5 ≠ 7.

Vậy (S₁) không đi qua gốc tọa độ.

(S₂): x² + y² + z² – 4y + 6z – 2 = 0 hay x² + (y – 2)² + (z + 3)² = 15.

Thay tọa độ O(0; 0; 0) ta được 0² + (−2)² + 3² = 13 ≠ 15.

Vậy (S₂) không đi qua gốc tọa độ.

(S₃): x² + y² + z² + 2x + 6z = 0 hay (x + 1)² + y² + (z + 3)² = 10.

Thay tọa độ O(0; 0; 0) ta được 1² + 0² + 3² = 10.

Vậy (S₃) đi qua gốc tọa độ.

(S₄): x² + y² + z² + 2x – 4y + 6z – 2 = 0 hay (x + 1)² + (y – 2)² + (z + 3)² = 16.

Thay tọa độ O(0; 0; 0) ta được 1² + (−2)² + 3² = 14 ≠ 16.

Vậy (S₄) không đi qua gốc tọa độ.

Bài 12 trang 63 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 9. Điểm nào sau đây nằm ngoài mặt cầu (S)?

A. M(−1; 2; 5).

B. N(0; 3; 2).

C. P(−1; 6; −1).

D. Q(2; 4; 5).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Thay các điểm vào phương trình mặt cầu, ta được:

Có: (−1 – 1)² + (2 – 2)² + (5 – 3)² = 8

Có: (0 – 1)² + (3 – 2)² + (2 – 3)² = 3

Có: (−1 – 1)² + (6 – 2)² + (−1 – 3)² = 36 > 9 do đó điểm P nằm ngoài (S).

Có: (2 – 1)² + (4 – 2)² + (5 – 3)² = 9 do đó điểm Q  thuộc mặt cầu (S).

Bài 13 trang 63 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 2; 2), C(4; 3; 5).

a) Mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left(3;1;1\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(4;2;4\right)$

b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;4;1\right)$

c) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 4).

d) Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d: $\frac{x+2}{1}=\frac{y}{-4}=\frac{z+1}{1}.$

Lời giải:

Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 2; 2), C(4; 3; 5) nên có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left(3;1;1\right), \overrightarrow{AC}=\left(4;2;4\right)$

Ta có: $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 4& 2\end{array}\right|\right)=\left(2;-8;2\right)=2\left(1;-4;1\right)$

Vậy $\overrightarrow{n}=\left(1;-4;1\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1(x – 0) – 4(y – 1) + 1(z – 1) = 0 hay x – 4y + z + 3 = 0.

Thay điểm M(1; 2; 4) vào (P), ta được: 1 – 4.2 + 4 + 3 = 0.

Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 4).

Đường thẳng d: $\frac{x+2}{1}=\frac{y}{-4}=\frac{z+1}{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;-4;1\right)$

Ta có: α = sin(d, (P)) = $\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)\right|$

           $=\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|1.1+\left(-4\right).\left(-4\right)+1.1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-4\right)}^2+1^2}.\sqrt{1^2+{\left(-4\right)}^2+1^2}}=1$

⇒ α = 0°.

Bài 14 trang 63 SBT Toán 12 Tập 2: Cho điểm M(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): 2x – y – 2z + 11 = 0.

a) Điểm A(0; 5; 3) thuộc mặt phẳng (P).

b) d(M, (P)) = $\frac{5}{9}$

c) Đường thẳng MA vuông góc với (P).

d) Đường thẳng d: $\frac{x-7}{1}=\frac{y-9}{-2}=\frac{z-31}{2}$ song song với (P).

Lời giải:

Thay A(0; 5; 3) vào phương trình mặt phẳng (P), ta có: 2.0 – 5 – 2.3 + 11 = 0.

Do đó, điểm A(0; 5; 3) thuộc mặt phẳng (P).

Ta có: d(M, (P)) = $=\frac{\left|2.2-1.0-2.0+11\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=5$

Ta có: ${\overrightarrow{u}}_{MA}=\left(-2;5;3\right)$, $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;-2\right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Suy ra sin(MA, (P)) = $\left|\cos \left({\overrightarrow{u}}_{MA},\overrightarrow{n}\right)\right|$

                      $=\frac{\left|-2.2+5.\left(-1\right)+3.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{{\left(-2\right)}^2+5^2+3^2}.\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{5\sqrt{38}}{38}$

Do đó đường thẳng MA không vuông góc với (P).

Đường thẳng d: $\frac{x-7}{1}=\frac{y-9}{-2}=\frac{z-31}{2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;-2;2\right)$ và đi qua điểm I(7; 9; 31).

Xét $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=2.1-1.\left(-2\right)-2.2=0\\ 2.7-9-2.31+11=-46\ne 0\Rightarrow M\notin \left(P\right)\end{array}\right.$ ⇒ d song song với (P).

Bài 15 trang 64 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai điểm A(2; 1; −2), B(−2; −2; −9) và đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1+t\\ z=-t\end{array}\right..$

a) Điểm A thuộc đường thẳng d.

b) Điểm B thuộc đường thẳng d.

c) Đường thẳng AB vuông góc với d.

d) $\overrightarrow{AB}=\left(4;3;-7\right)$

Lời giải:

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{x}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$

Thay điểm A(2; 1; −2) vào d ta được: $\frac{2}{1}=\frac{1+1}{1}=\frac{-2}{-1}=2$. Do đó điểm A thuộc đường thẳng d.

Thay điểm B(−2; −2; −9) vào d ta được: $\frac{-2}{1}\ne \frac{-2+1}{1}\ne \frac{-9}{-1}$. Do đó điểm B không thuộc đường thẳng d.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-4;-3;-7\right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Có: ${\overrightarrow{u}}_d.\overrightarrow{AB}=-4.1+1.\left(-3\right)+\left(-1\right).\left(-7\right)=0$ nên đường thẳng AB vuông góc với d.

Bài 16 trang 64 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai đường thẳng d: $\frac{x+2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{2}$ và d’: $\frac{x-2}{3}=\frac{y}{-4}=\frac{z-1}{-5}$.

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(−2; 0; −1).

b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(-4;2;-4\right)$

c) Đường thẳng d’ không đi qua điểm N(2; 0; 1).

d) Đường thẳng d vuông góc với d’.

Lời giải:

Thay tọa độ điểm M(−2; 0; −1) vào d ta được: $\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{-1}=\frac{-1+1}{2}=0$

Do đó, M(−2; 0; −1) thuộc đường thẳng d.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;2\right)$. Vectơ $\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{u}=\left(-4;2;-4\right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm N(2; 0; 1) vào đường thẳng d’: $\frac{x-2}{3}=\frac{y}{-4}=\frac{z-1}{-5}$, ta được:

$\frac{2-2}{3}=\frac{0}{-4}=\frac{1-1}{-5}=0$ . Do đó điểm N(2; 0; 1) thuộc đường thẳng d’.

Ta có: $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;2\right),\overrightarrow{u^{‘}}=\left(3;-4;-5\right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và d’.

Có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u^{‘}}=2.3+\left(-1\right).\left(-4\right)+2.\left(-5\right)=0$ do đó d vuông góc với d’.

Bài 17 trang 64 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 3)² + (z + 2)² = 9.

a) (S) có tâm I(−1; −3; 2).

b) (S) có bán kính R = 9.

c) Điểm O(0; 0; 0) nằm ngoài mặt cầu (S).

d) Điểm M(1; 3; 1) nằm trên mặt cầu (S).

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 3; −2) và bán kính R = 3.

Thay điểm O(0; 0; 0) vào phương trình mặt cầu (S): (−1)² + (−3)² + 2² = 14 > 9.

Vậy điểm O(0; 0; 0) nằm ngoài mặt cầu (S).

Thay tọa độ điểm M(1; 3; 1) vào phương trình mặt cầu (S):

(1 – 1)² + (3 – 3)² + (1 + 2)² = 9.

Do đó, điểm M(1; 3; 1) nằm trên mặt cầu (S).

B. Tự luận

Bài 1 trang 64 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P): x + 2y – z + 3 = 0 và (Q): x – 4y + (m – 1)z + 1= 0 với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q).

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{n_P}=\left(1;2;-1\right),\overrightarrow{n_Q}=\left(1;-4;m-1\right)$

Để (P) ⊥ (Q) ⇔ 1.1 + 2.(−4) + (−1).(m – 1) = 0 ⇔ m = −6.

Bài 2 trang 64 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (α): x – y + nz – 3 = 0 và (β): 2x + my + 2z + 6 = 0. Với giá trị nào của m, n thì (α) song song với (β)?

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(1;-1;n\right),\overrightarrow{n_{\beta }}=\left(2;m;2\right)$

Để (α) song song với (β) thì $\frac{1}{2}=\frac{-1}{m}=\frac{n}{2}\ne \frac{-3}{6}\iff \left\{\begin{array}{l}m=-2\\ n=1\end{array}\right.$

Bài 3 trang 64 SBT Toán 12 Tập 2: Cho điểm G(1; 2; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua G và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Lời giải:

Đặt A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).

Ta có: G(1; 2; 3) là trọng tâm tam giác ABC.

Có $\left\{\begin{array}{l}\frac{a+0+0}{3}=1\\ \frac{0+b+0}{3}=2\\ \frac{0+0+c}{3}=3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=6\\ c=9\end{array}\right.$ ⇒ A(3; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 9).

Vậy phương trình (P) là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1$ hay 6x + 3y + 2z – 18 = 0.

Bài 4 trang 64 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai điểm M(1; −1; 5) và N(0; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M, N và song song với trục Oy.

Lời giải:

Mặt phẳng (Q) chứa M, N và song song với trục Oy nên có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}=\left(-1;1;-4\right),\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$. Do đó, mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{j}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}1& -4\\ 1& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-4& -1\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|\right)$ = (4; 0; −1) là vectơ pháp tuyến của (Q).

Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: 4x – z + 1 = 0.

Bài 5 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz (đơn vị trên các trục tọa độ là centimét), đầu in phun của một máy in 3D đang đặt tại điểm M(5; 0; 35). Tính khoảng cách từ đầu in phun đến khay đặt vật in có phương trình z – 5 = 0.

Lời giải:

Ta có phương trình của mặt phẳng (P) chứa khay đặt vật in là z – 5 = 0, suy ra:

D(M, (P)) = $\frac{\left|35-5\right|}{1}$ = 30 (cm).

Bài 6 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai đường thẳng d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1-4t\\ z=6+6t\end{array}\right.$ và đường thẳng d₂: $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-5}$.

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua A(1; −1; 2), đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng d₁; d₂.

Lời giải:

Đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=\left(1;-4;6\right),$$\overrightarrow{u_2}=\left(2;1;-5\right)$

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; −1; 2), đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng d₁, d₂ nên có vectơ chỉ phương là

${\overrightarrow{u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-4& 6\\ 1& -5\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}6& 1\\ -5& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -4\\ 2& 1\end{array}\right|\right)$ = (14; 17; 9).

Ta có phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: $\frac{x-1}{14}=\frac{y+1}{17}=\frac{z-2}{9}$

Bài 7 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2t\\ z=-1\end{array}\right.$, điểm M(1; 2; 1) và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M, song song với (P) và vuông góc với d.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;2;0\right)$; mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-2\right)$.

Đường thẳng ∆ đi qua M song song với (P) và vuông góc với d nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{a}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|\right)$ = (−4; 2; −3).

Ta có phương trình chính tắc của ∆ là: $\frac{x-1}{-4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{-3}$

Bài 8 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC (O là gốc tọa độ).

Lời giải:

Mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (1).

Thay tọa độ bốn đỉnh của tứ diện vào (1), ta được:

$\left\{\begin{array}{l}{2}^2+0^2+0^2-2a.2-2b.0-2c.0+d=0\\ 0^2+4^2+0^2-2a.0-2b.4-2c.0+d=0\\ 0^2+0^2+4^2-2a.0-2b.0-2c.4+d=0\\ 0^2+0^2+0^2-2a.0-2b.0-2c.0+d=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}4-4a+d=0\\ 16-8b+d=0\\ 16-8c+d=0\\ d=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\\ c=2\\ d=0\end{array}\right.$

Vậy phương trình của (S) là: x² + y² + z² – 2x – 4y – 4z = 0.

Bài 9 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 3)² + (z + 7)² = 1. Tìm tọa độ các điểm M, N là chân đường vuông góc vẽ từ tâm I của (S) đến các trục tọa độ Oy và Oz.

Lời giải:

Ta có tâm I của mặt cầu (S) là: I(1; 3; −7).

Tọa độ các điểm M, N là chân đường vuông góc vẽ từ I đến các trục Oy và Oz lần lượt là M(0; 3; 0), N(0; 0; −7).

Bài 10 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu (S) : (x – 1)² + y² + (z + 2)² = 2.

a) Tính khoảng cách từ tâm I của (S) đến mặt phẳng (Oxy).

b) Gọi J là điểm đối xứng của I qua gốc tọa độ O. viết phương trình mặt cầu (S’) tâm J và có cùng bán kính với (S).

Lời giải:

a) Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; −2) và bán kính R = $\sqrt{2}$

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0.

Ta có: d(I, (Oxy)) = $\left|-2\right|$ = 2.

b) Ta có: J(−1; 0; 2) là điểm đối xứng của I qua gốc tọa độ O.

Phương trình mặt cầu (S’) tâm J, bán kính R = $\sqrt{2}$ là:

(S’): (x + 1)² + y² + (z – 2)² = 2.

Bài 11 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Người ta muốn thiết kế một lều cắm trại có dạng là một phần mặt cầu bằng phần mềm 3D.

Cho biết phương trình bề mặt của lều là (S): (x – 3)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 9, phương trình mặt phẳng chứa cửa lều là (P): x = 2, phương trình chứa sàn lêu là (Q): z = 0. Tìm tâm và bán kính đường tròn cửa lều và đường tròn sàn lều.

Lời giải:

Bề mặt của lều (S): (x – 3)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 9 có tâm I(3; 3; 1), bán kính R = 3.

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P): x = 2.

Ta có vectơ chỉ phương của d là ${\overrightarrow{a}}_d=\left(1;0;0\right)$

Suy ra d có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=3\\ z=1\end{array}\right.$

Gọi A(3 + t; 3; 1) là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P): x = 2, ta được (3 + t) – 2 = 0 hay t = −1, suy ra A(2; 3; 1).

Bán kính r₁ của đường tròn có cửa lều là:

r₁ = $\sqrt{R^2-I{A}^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$

Vậy đường tròn cửa lều có tâm A(2; 3; 1), bán kính r₁ = $2\sqrt{2}$

Gọi d’ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (Q): z = 0.

Ta có vectơ chỉ phương của d’ là ${\overrightarrow{u}}_{d^{‘}}$ = (0; 0; 1)

Suy ra d’ có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=3\\ z=1+t.\end{array}\right.$

Gọi B(3; 3; 1 + t) là hình chiếu vuông góc của I trên (Q). Thay tọa độ của điểm B vào phương trình (Q): z = 0 ta được 1 + t = 0, suy ra t = −1, suy ra B(3; 3; 0).

Bán kính r₁ của đường tròn sàn lều là: r₂ = $\sqrt{R^2-I{B}^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$

Vậy đường tròn sàn lều có tâm B(3; 3; 0), bán kính r₂ = $2\sqrt{2}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Xác suất có điều kiện

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài tập cuối chương 6