Đường tiệm cận của đồ thị hàm số – Học học nữa học mãi

Giải SBT Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 48 trang 23 SBT Toán 12 Tập 1: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = $\frac{3x+1}{x-2}$ là đường thẳng:

A. x = 2.

B. x = –$\frac{1}{3}$ .

C. y = 3.

D. y = $\frac{1}{3}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ\{2}.

Ta có: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$y = $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$$\frac{3x+1}{x-2}$ = $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$$\left(3+\frac{7}{x-2}\right)$ = −∞.

   $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$y = $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$$\frac{3x+1}{x-2}$ = $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$$\left(3+\frac{7}{x-2}\right)$ = +∞.

Vậy đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Bài 49 trang 23 SBT Toán 12 Tập 1: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = $\frac{5x-2}{x+3}$ là đường thẳng:

A. x = −3.

B. x = 5.

C. y = −3.

D. y = 5.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ\{−3}.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{5x-2}{x+3}$ = 5.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{5x-2}{x+3}$ = 5.

Vậy đường thẳng y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Bài 50 trang 23 SBT Toán 12 Tập 1: Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = $\frac{2x-7}{6-3x}$ là:

A. Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2; tiệm cận ngang là đường thẳng y = $\frac{1}{3}$ .

B. Tiệm cận đứng là đường thẳng x = $\frac{7}{2}$; tiệm cận ngang là đường thẳng y = –$\frac{2}{3}$ .

C. Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2; tiệm cận ngang là đường thẳng y = $\frac{2}{3}$ .

D. Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2; tiệm cận ngang là đường thẳng y = –$\frac{2}{3}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ\{2}.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{2x-7}{6-3x}$ = –$\frac{2}{3}$ .

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{2x-7}{6-3x}$ = –$\frac{2}{3}$.

Vậy đường thẳng y = –$\frac{2}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$y = $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$$\frac{2x-7}{6-3x}$ = −∞.

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$y = $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$$\frac{2x-7}{6-3x}$ = +∞.

Vậy đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Bài 51 trang 23 SBT Toán 12 Tập 1: Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng x = −1 làm tiệm cận đứng?

A. $y=\frac{3x-1}{x+1}$ .

B. $y=\frac{2x+1}{x-1}$ .

C. $y=\frac{-x+1}{x-2}$ .

D. $y=\frac{x+1}{x-2}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số y = $\frac{3x-1}{x+1}$. Hàm số này có tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Ta có:

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }$y = $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }$$\frac{3x-1}{x+1}$ = +∞.

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }$y = $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }$$\frac{3x-1}{x+1}$ = −∞.

Như vậy, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{3x-1}{x+1}$.

Bài 52 trang 23 SBT Toán 12 Tập 1: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = 2x – 1 − $\frac{2}{x+1}$ là đường thẳng:

A. y = 2x.

B. y = x + 1.

C. y = 2x – 1.

D. y = −2x + 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Tập xác định của hàm số: D = ℝ\{−1}.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ [y – (2x – 1)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\left(-\frac{2}{x-1}\right)$ = 0.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y – (2x – 1)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\left(-\frac{2}{x-1}\right)$= 0.

Vậy đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bài 53 trang 23 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ\{1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng:

A. x = 1.

B. x = 2.

C. y = 1.

D. y = 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy:

Tập xác định của hàm số: D = ℝ\{1}.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$y = −∞.

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$y = +∞.

Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài 54 trang 24 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ\{−2}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng y = 2 và tiệm cận ngang là đường thẳng x = −2.

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng y = −2 và tiệm cận ngang là đường thẳng x = 2.

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = −2.

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ\{−2}.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = 2; $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = 2.

Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta cũng có: $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }$y = +∞; $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }$y = −∞.

Do đó, đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Bài 55 trang 24 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ\{−2}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −2 và không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 3.

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là đường thẳng y = −2.

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 3.

Lời giải:

Đề bài có bảng biến thiên chưa chính xác khi sắp xếp thứ tự của x nên không giải bài này.

Bài 56 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và đồ thị có đường tiệm cận ngang như Hình 10. Hàm số y = f(x) có thể là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. $f\left(x\right)=\frac{3x^2}{x^2+x+1}.$

B. $f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x^2+x+1}.$

C. $f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^2+x+1}.$

D. $f\left(x\right)=\frac{x^2}{3x^2+x+1}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Quan sát Hình 10, ta thấy đường thẳng y = 3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x).

Nhận thấy: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{3x^2}{x^2+x+1}$ = 3; $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{3x^2}{x^2+x+1}$ = 3.

Do đó, đường thẳng y = 3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = $\frac{3x^2}{x^2+x+1}$.

Vậy f(x) = $\frac{3x^2}{x^2+x+1}$.

Bài 57 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ\{1} và có đồ thị như Hình 11.

Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:

A. Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cận xiên là đường thẳng y = −x.

B. Tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận xiên là đường thẳng y = x.

C. Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cận xiên là đường thẳng y = x.

D. Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cận xiên là đường thẳng y = −2x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

+ Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ\{1}.

+ Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 0) và (1; −1) nên đồ thị nhận đường thẳng y = −x là đường tiệm cận xiên.

Bài 58 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{-5x+3}{x}$ là:

A. I(1; −5).

B. I(0; −5).

C. I(0; 5).

D. I(1; 5).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ\{0}.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{-5x+3}{x}$ = −5 , $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{-5x+3}{x}$ = −5.

Vậy đường thẳng y = −5 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$y = $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$$\frac{-5x+3}{x}$ = +∞ , $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$$\frac{-5x+3}{x}$ = −∞.

Vậy đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy giao điểm I của hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là I(0; −5).

Bài 59 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{2x}{x^2-4}$ là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ\{±2}.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{2x}{x^2-4}$ = 0 , $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{2x}{x^2-4}$ = 0.

Vậy đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$$\frac{2x}{x^2-4}$ = −∞, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$$\frac{2x}{x^2-4}$ = +∞.

   $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }$$\frac{2x}{x^2-4}$ = −∞, $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }$$\frac{2x}{x^2-4}$ = +∞.

Vậy hai đường thẳng x = 2 và x = −2 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Bài 60 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$ là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{x^2-1}{x^2+1}$ = 1 , $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{x^2-1}{x^2+1}$ = 1.

Vậy đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Hàm số chỉ có 1 đường tiệm cận.

Bài 61 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=-x+3-\frac{5}{2x+1}$ là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ\ $\left\{-\frac{1}{2}\right\}$.

Ta có: $\underset{x\to {\frac{-1}{2}}^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to {\frac{-1}{2}}^{-}}{\lim }$$\left(-x+3-\frac{5}{2x+1}\right)$ = +∞.

   $\underset{x\to {\frac{-1}{2}}^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to {\frac{-1}{2}}^{+}}{\lim }$$\left(-x+3-\frac{5}{2x+1}\right)$ = −∞.

Do đó, đường thẳng x = –$\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y – (– x + 3)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\left(-\frac{5}{2x+1}\right)$ = 0, $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ [y – (– x + 3)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ $\left(-\frac{5}{2x+1}\right)$ = 0.

Đường thẳng y = −x + 3 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Bài 62 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{x^2-3}{-x-1}$ .

a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1.
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = −1.
c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = −x.
d) Giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là I(−1; 1).

Lời giải:

Ta có: y = $\frac{x^2-3}{-x-1}$.

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Ta có: $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }$$\frac{x^2-3}{-x-1}$ = −∞, $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }$$\frac{x^2-3}{-x-1}$ = +∞.

Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{x^2-3}{-x-1}$ = +∞ , $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{x^2-3}{-x-1}$ = −∞.

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ [y – (– x)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\left(\frac{x^2-3}{-x-1}+x\right)$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\left(\frac{-x-3}{-x-1}\right)$ = 1 ≠ 0.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ [y – (– x)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\left(\frac{-x-3}{-x-1}\right)$ = 1 ≠ 0.

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.

Do đồ thị hàm số chỉ có 1 đường điệm cận nên không tồn tại giao điểm I của hai đường tiệm cận.

Bài 63 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y=\frac{x-1}{2x+3}$ ;

b) $y=-3+\frac{5}{x-4}$ ;

c) $y=\frac{3x-7}{x^2}$ ;

d) $y=\frac{-2x^2+1}{x^2-2x+1}.$

Lời giải:

a) $y=\frac{x-1}{2x+3}$

Tập xác định: D = ℝ\ $\left\{-\frac{3}{2}\right\}$.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{x-1}{2x+3}$ = $\frac{1}{2}$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{x-1}{2x+3}$ = $\frac{1}{2}$.

Do đó, đường thẳng y = $\frac{1}{2}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\underset{x\to {\frac{-3}{2}}^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to {\frac{-3}{2}}^{-}}{\lim }$$\frac{x-1}{2x+3}$ = +∞, $\underset{x\to {\frac{-3}{2}}^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to {\frac{-3}{2}}^{+}}{\lim }$$\frac{x-1}{2x+3}$ = −∞.

Do đó, đường thẳng x = –$\frac{3}{2}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

b) $y=-3+\frac{5}{x-4}$

Tập xác định: D = ℝ\{4}.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\left(-3+\frac{5}{x-4}\right)$ = −3, $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\left(-3+\frac{5}{x-4}\right)$ = −3.

Do đó, đường thẳng y = −3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }$$\left(-3+\frac{5}{x-4}\right)$ = −∞, $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }$$\left(-3+\frac{5}{x-4}\right)$ = +∞.

Do đó, đường thẳng x = 4 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

c) $y=\frac{3x-7}{x^2}$

Tập xác định: D = ℝ\{0}.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{3x-7}{x^2}$ = 0, $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{3x-7}{x^2}$ = 0.

Do đó, đường thẳng y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$$\frac{3x-7}{x^2}$ = −∞, $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$$\frac{3x-7}{x^2}$ = +∞.

Do đó, đường thẳng x = 0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

d) $y=\frac{-2x^2+1}{x^2-2x+1}$

Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{-2x^2+1}{x^2-2x+1}$ = −2, $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{-2x^2+1}{x^2-2x+1}$ = −2.

Do đó, đường thẳng y = −2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$$\frac{-2x^2+1}{x^2-2x+1}$ = −∞, $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$$\frac{-2x^2+1}{x^2-2x+1}$ = −∞.

Do đó, đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Bài 64 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y=5x-2+\frac{1}{x+3}$ ;

b) $y=-7x+\frac{x-1}{x^2}$ ;

c) $y=\frac{x^2+2x}{-x+2}$ ;

d) $y=\frac{2x^2+9x}{x+1}.$

Lời giải:

a) $y=5x-2+\frac{1}{x+3}$

Tập xác định: D = ℝ\{−3}.

Ta có: $\underset{x\to -3^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to -3^{-}}{\lim }$$\left(5x-2+\frac{1}{x+3}\right)$ = −∞, $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }$$\left(5x-2+\frac{1}{x+3}\right)$ = +∞.

Do đó, đường thẳng x = −3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ [y – (5x – 2)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{1}{x+3}$ = 0, $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ [y – (5x – 2)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{1}{x+3}$ = 0.

Do đó, đường thẳng y = 5x – 2 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

b) $y=-7x+\frac{x-1}{x^2}$

Tập xác định: D = ℝ\{0}.

Ta có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$$\left(-7x+\frac{x-1}{x^2}\right)$ = −∞, $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$$\left(-7x+\frac{x-1}{x^2}\right)$ = −∞.

Do đó, đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ [y – (−7x)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{x-1}{x^2}$ = 0, $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ [y – (−7x)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{x-1}{x^2}$ = 0.

Do đó, đường thẳng y = −7x là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

c) $y=\frac{x^2+2x}{-x+2}$

Tập xác định: D = ℝ\{2}.

Ta có: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$$\frac{x^2+2x}{-x+2}$ = −∞, $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$$\frac{x^2+2x}{-x+2}$ = +∞.

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{y}{x}$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\left(\frac{x^2+2x}{(-x+2)x}\right)$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\left(\frac{x^2+2x}{-x^2+2x}\right)$ = −1.

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\left(\frac{x^2+2x}{-x+2}+x\right)$ = −4.

Đường thẳng y = −x – 4 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

d) $y=\frac{2x^2+9x}{x+1}.$

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Ta có: $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }$$\frac{2x^2+9x}{x+1}$ = +∞, $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }$$\frac{2x^2+9x}{x+1}$ = −∞.

Do đó, đường thẳng x = −1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{y}{x}$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\left(\frac{2x^2+9x}{(x+1)x}\right)$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{2x^2+9x}{x^2+x}$ = 2.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }$(y-(2x)) = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\left(\frac{2x^2+9x}{x+1}-2x\right)$ = 7.

Đường thẳng y = 2x + 7 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bài 65 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y=\frac{3x+5}{x^2-4}$ ;

b) $y=\frac{-x^2-1}{4x^2+9}$ ;

c) $y=\frac{3x^2+x}{1-x}.$

Lời giải:

a) $y=\frac{3x+5}{x^2-4}$

Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ\{±2}.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{3x+5}{x^2-4}$ = 0 , $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{3x+5}{x^2-4}$ = 0.

Vậy đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$$\frac{3x+5}{x^2-4}$ = −∞, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$$\frac{3x+5}{x^2-4}$ = +∞.

   $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }$$\frac{3x+5}{x^2-4}$ = −∞, $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }$$\frac{3x+5}{x^2-4}$ = +∞.

Vậy các đường thẳng x = 2 và x = −2 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

b) $y=\frac{-x^2-1}{4x^2+9}$

Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{-x^2-1}{4x^2+9}$ = $\frac{-1}{4}$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ y = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{-x^2-1}{4x^2+9}$ = $\frac{-1}{4}$ .

Vậy đường thẳng y = $\frac{-1}{4}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

c) $y=\frac{3x^2+x}{1-x}.$

Hàm số đã cho có tập xác định: D = ℝ\{1}.

Ta có: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$$\frac{3x^2+x}{1-x}$ = +∞, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$ y = $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$$\frac{3x^2+x}{1-x}$ = −∞.

Do đó, đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{y}{x}$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\left(\frac{3x^2+x}{\left(1-x\right)x}\right)$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{3x^2+x}{x-x^2}$ = −3.

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ [y – (−3x)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\left(\frac{3x^2+x}{1-x}+3x\right)$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{4x}{1-x}$ = −4.

Do đó, đường thẳng y = −3x − 4 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bài 66 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Tốc độ đánh máy trung bình S (tính bằng từ trên phút) của một học viên sau t tuần học được cho bởi công thức:

S(t) = $\frac{100t^2}{65+t^2}$ với t > 0.

a) Xem y = S(t) = $\frac{100t^2}{65+t^2}$ là một hàm số xác định trên khoảng (0; +∞), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.

b) Nêu nhận xét về tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó khi thời gian t càng lớn.

Lời giải:

a) Tập xác định: D = (0; +∞).

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ S(t) = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{100t^2}{65+t^2}$ = 100.

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số trên là đường thẳng y = 100.

b) Do đường thẳng y = 100 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = S(t) nên khi t càng lớn thì tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sẽ tiến gần đến mức 100 từ/phút và không vượt quá mức 100 từ/phút cho dù thời gian t có kéo dài đến vô cùng.

Bài 67 trang 27 SBT Toán 12 Tập 1: Tổng chi phí để sản xuất x sản phẩm của một xí nghiệp được tính theo công thức

T = 20x + 100 000 (nghìn đồng).

a) Viết công thức tính chi phí trung bình C(x) của một sản phẩm khi sản xuất được x sản phẩm.

b) Xem y = C(x) là một hàm số xác định trên khoảng (0; +∞), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.

c) Xét tính đơn điệu của hàm số y = C(x) trên khoảng (0; +∞).

d) Nêu nhận xét về chi phí để tạo ra 1 sản phẩm khi x càng lớn.

Lời giải:

a) Công thức tính chi phí trung bình C(x) của một sản phẩm khi sản xuất được x sản phẩm là: C(x) = $\frac{T}{x}$ = $\frac{20x+100000}{x}$ (nghìn đồng).

b) Tập xác định: D = (0; +∞).

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ C(x) = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{20x+100000}{x}$ = 20.

Do đó, đường thẳng y = 20 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số C(x).

c) Ta có: C(x) = $\frac{20x+100000}{x}$ = 20 + $\frac{100000}{x}$

   C'(x) = $-\frac{100000}{x^2}$  0.

Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số y = C(x) như sau:

Hàm số y = C(x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

d) Do đường thẳng y = 20 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = C(x) nên khi x càng lớn thì chi phí tạo ra 1 sản phẩm sẽ giảm dần đến mức 20 nghìn đồng và không thể giảm hơn 20 nghìn đồng cho dù số sản phẩm sản xuất được có thể vô cùng lớn.

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng $y=y_0$ gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=y_0$

Ví dụ: Tìm TCN của đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{3x-2}{x+1}$

Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x-2}{x+1}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x-2}{x+1}=3$

Vậy đồ thị hàm số f(x) có TCN là y = 3.

2. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng $x=x_0$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty };\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty };\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty };\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$;

Ví dụ: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{3-x}{x+2}$

Ta có: $\underset{x\to -2^{+}}{lim}\frac{3x-2}{x+2}=+\mathrm{\infty }$

Vậy đồ thị hàm số có TCĐ là x = -2

3. Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng $y=ax+b(a\ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$

Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số $y=f(x)=x+\frac{1}{x+2}$

Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f(x)-x\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x+2}=0$

Vậy đồ thị hàm số có TCX là y = x

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác: